Options

Options financières

Le polycopié ci-dessous présente la notion d'option (call et put), les arbitrages, les modèles d'évaluation et une introduction à la sensibilité du prix d'une option

Polycopié

Le polycopié suivant détaille la sensibilité de la prime d'une option à la variation de certains paramètres :

  • cours du sous-jacent ; delta
  • volatilité ; vega
  • durée restant jusqu'à l'échéance : théta
  • taux sans risque : rhô
Il présente aussi le gamma qui mesure la sensibilité du delta à la variation du cours du sous-jacent

Options réelles

Pricer

Contrairement aux options financières, les options réelles ne sont pas négociables. Elles constituent une vue de l'esprit qui permet de résoudre certaines problématiques de finance d'entreprise :

  • Valorisation des capitaux propres vue comme la prime d'un call sur les actifs 
  • Valorisation d'un brevet
  • Prise en compte d'une option de croissance dans la décision d'investissement
  • Valorisation d'une concession vue comme un portefeuille d'options
  • Choix du meilleur moment pour investir en supposant une option d'achat dont la maturité est infinie...
L'utilisation de ces options est fondée sur 2 catégories de modèles
  1. Modèles traditionnels de Black & Scholes [1973] et de Merton [1973], 
  2. Modèle de Dixit & Pindyck [1991] dans l'hypothèse d'une option à maturité infinie. 

La présentation d'une part du principe des options réelles fondées sur le modèle de Black & Scholes, d'autre part du modèle de Dixit & Pindyck de valorisation des options à maturité infinie, utiles pour déterminer le meilleur moment pour investir relèvent du polycopié ci-dessous 



La logique de la valorisation des capitaux propres selon la formule de Black & Scholes est présentée dans la fiche ci-desssous :



Les aspects opérationnls des options réelles avec recours à la formule de Black & Scholes sont détaillés dans le polycopiés ci-dessous



Leur bonne appropriation suppose la maîtrise des notions de base de calcul différentiel stochastique qui sont développées dans le polycopié ci-dessous. Un certain nombre d'applications pratiques des options réelles sont aussi présentées dans le document ci-dessous :


Calcul différentiel stochastique appliqué à la finance
Compte tenu de leur technicité mathématique, les différents concepts sont présentés sous forme de courts métrages qui complètent les polycopiés ci-dessus. 

1. Présention détaillée de 4 processus de diffusion 
  • Mouvement browien simple
  • Mouvement brownien avec tendance
  • Processus d'Ito
  • Mouvement brownien géométrique
Le mouvement brownien géométrique est celui sous-tend la formule de Black and Scholes.

2. Démonstration du lemme d'Ito : 
L'avant dernière ligne de la démonstration sert de point de départ à la formalisation de l'hypotnèse de log-normalité de la distribution du cours de bourse de l'action sous-jacente à une option

3. Expression de la log-normalité de la distribution du cours de bourse :
L'hypothèse de log-normalité est retenue par Black & Scholes.

4. Rappels sur la loi log-normale
Le film ci-dessous établit la formule de densité de la loi log-normale ; celle-ci est utilisée dès le début de la  démonstration de la formule de Black & Scholes. Ce ,film propose également des calculs de 2 intégrales en vue de se familiariser avec des artifices de calculs qui seront mis en oeuvre pour démontrer la formule de Black & Scholes :


5.Démonstration de la formule de Black & Scholes 
Cette démonstration est décomposée en 3 vidéos :



6. Aspects pratiques de la formule de Black & Scholes
La formule de Black & Scholes est très simple à utiliser, comme le souligne la vidéo ci-dessous :
Film