Mathématiques financières

présentation

Ce cours est centré sur la finance et non sur les mathématiques.

Il vise à sensibiliser à l'impact de l'évolution des taux d'intérêt sur la valorisation de titres représentatifs de dettes. En d'autres termes, il conduit à illustrer systématiquement par des exemples boursiers le fait que la hausse des taux d'intérêt se traduit par une baisse de la valeur (ou prix, ou cours) des titres à taux fixe. 

Economiquement, la logique est la suivante ; si un titre à taux fixe rapporte 5%, cela signifie que, chaque année, l'intérêt versé à son propriétaire sera déterminé sur la base de ce taux de 5%, quelle que soit l'évolution des taux d'intérêt sur les marchés de capitaux. Dès lors, si le taux de référence est porté à 6%, la demande pour le titre qui rapporte 5% baisse ce qui se traduit par la baisse de son cours.

Fincièrement, le prix s'établit à la baisse, de telle sorte que le rendement, pour l'acquéreur du titre (dont le taux est de 5%), soit égal au nouveau de taux de référence de 6%.

Les calculs sur les titres dont la durée de vie est inférieure à 1 an relèvent du principe de l'intérêt simple. C'est le cas des Titres de Créances Négociables ou TCN. On distingue 3 types de TCN selon la nature de l'émetteur :
  1. Billets de trésorerie : émis par les entreprises industrielles et commeciales
  2. Certificats de dépôts : émis par les banques
  3. Bons du Trésor : émis par l'Etat.

Les titres dont la durée de vie est supérieure à 1 an relèvent de l'intérêt composé : les intérêts générés au cours une année donnée portent intérêt à leur tour au cours des années suivantes. Ils sont donc réinvestis, ou capitalisés ou composés. C'est le cas des obligations. 

L'étude des obligations conduit à définir la notion de sensibilité de leur prix à l'évolution du taux de référence. La sensibilité est déterminée à partir de la formule de la duration. Il est donc possible de déterminer la sensibilité du prix d'une obligation à l'évolution du taux de référence par 2 méthodes ;

  1. Comparaison du prix de l'obligation avant et après la hausse du taux de référence 
  2. Application de la formule de la sensibilité : S = -D / (1+i) où S est la sensibilité, D la duration et i le taux de référence.

Ce cours est aussi l'occasion de construire des échéanciers de remboursement d'un crédit selon les 3 modalités usuelles : 

  1. in fine
  2. par amortissements (ou remboursements) constants 
  3. par annuité constantes. 
Il est possible d'ajouter 2 catégories d'obligations :
  1. la rente perpéruelle : titres représentatifs d'une dette qui ne sera jamais rembousée, sauf si l'emprunteur en prend l'initiative
  2. le zéro courpon : titres dont les intérêts et le remboursement interviennent en une seule fois, le jour de l'échéance


Polycopié


Pour s'entraîner, des exercices de révision sont proposés dans le polycopié ci-après

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