Mathématiques financières
présentation
Ce cours est centré sur la finance et non sur les mathématiques.
Il vise à sensibiliser à l'impact de l'évolution des taux d'intérêt sur la valorisation de titres représentatifs de dettes. En d'autres termes, il conduit à illustrer systématiquement par des exemples boursiers le fait que la hausse des taux d'intérêt se traduit par une baisse de la valeur (ou prix, ou cours) des titres à taux fixe.
Economiquement, la logique est la suivante ; si un titre à taux fixe rapporte 5%, cela signifie que, chaque année, l'intérêt versé à son propriétaire sera déterminé sur la base de ce taux de 5%, quelle que soit l'évolution des taux d'intérêt sur les marchés de capitaux. Dès lors, si le taux de référence est porté à 6%, la demande pour le titre qui rapporte 5% baisse ce qui se traduit par la baisse de son cours.
Fincièrement, le prix s'établit à la baisse, de telle sorte que le rendement, pour l'acquéreur du titre (dont le taux est de 5%), soit égal au nouveau de taux de référence de 6%.
Les calculs sur les titres dont la durée de vie est inférieure à 1 an relèvent du principe de l'intérêt simple. C'est le cas des Titres de Créances Négociables ou TCN :- Billets de trésorerie : émis par les entreprises industrielles et commeciales
- Certificats de dépôts : émis par les banques
- Bons du Trésor : émis par l'Etat.
Les titres dont la durée de vie est supérieure à 1 an relèvent de l'intérêt composé : les intérêts générés au cours une année donnée portent intérêt à leur tour au cours des années suivantes. Ils sont donc réinvestis, ou capitalisés ou composés. C'est le cas des obligations.
L'étude des obligations conduit à définir la notion de sensibilité de leur prix à l'évolution du taux de référence. La sensibilité est déterminée à partir de la formule de la duration. Il est donc possible de déterminer la sensibilité du prix d'une obligation à l'évolution du taux de référence par 2 méthodes ;
- en comparant le prix de l'obligation avant et après la hausse du taux de référence
- en appliquant la formule de la sensibilité : S = -D / (1+i) où S est la sensibilité, D la duration et i le taux de référence.
Ce cours est aussi l'occasion de construire des échéanciers de remboursement d'un crédit selon les modalités usuelles :
- in fine
- par amortissements (ou remboursements) constants
- par annuité constantes.
- la rente perpéruelle : titres représentatifs d'une dette qui ne sera jamais rembousée, sauf si l'emprunteur en prend l'initiative
- le zéro courpon : titres dont les intérêts et le remboursement interviennent en une seule fois, le jour de l'échéance
